簡単な量子アルゴリズム

これまでの章で紹介したゲートを使って、回路上に簡単なアルゴリズムを作成できるようになりました。そのためにはまず、次に示すように、1 つの量子ビットに複数のゲートを適用する場合を調べる必要があります:

QASM 言語では、3 つの異なる u3 ゲートを定義することで、3 つの異なるゲート

OPENQASM 2.0;
include "qelib1.inc";
qreg q[1];
u(pi,pi,pi) q[0];
u(pi/2,pi/2,pi/2) q[0];
u(pi/4,pi/4,pi/4) q[0];

中間ステップの状態 と は、単一ゲートの適用と同様に計算されます:

一般に、ゲートの順序を入れ替えることはできない点に注意してください。

乱数生成器

状態と、ある最終状態が得られる対応する確率は計算できますが、確実性は測定によってのみ得られます。そして測定は、量子ビットが持ち得る重ね合わせを壊してしまいます。この講義の中で、この測定の効果が、課題のための特定のツールとしても利用できることを、私たちは繰り返し見ていきます。

簡単な例は、アダマールゲートと測定の組み合わせであり、これは 真の 乱数生成器を作り出します:

OPENQASM 2.0;
include "qelib1.inc";
qreg q[1];
creg c[1];
h q[0];
measure q[0] -> c[0];

入力量子ビットの状態は でも でもかまいません。どちらの場合も、アダマールゲートは量子ビットを、 と が測定結果として等しい確率で得られる状態にするからです。

エンタングルメント

一見すると非常に単純に見えるもう 1 つの回路が、2 つの量子ビットのエンタングルメント(量子もつれ)です。

OPENQASM 2.0;
include "qelib1.inc";
qreg q[2];
h q[0];
cx q[0], q[1];

もし であれば、中間ステップの状態 は次のようになります:

時間ステップ では、各量子ビットの測定値は確定しておらず、 と が等しい確率で得られます。 しかし、状態 は、両量子ビットの測定結果がどの場合でも同じになることも示しています。そこで、 が の測定結果として得られたなら、 の測定結果も(すなわち に)確定します。これはまた、2 つの量子ビットを空間的に引き離し、互いに独立に測定したとしても、結果がなお相関することを意味します。

この状態は、アイルランドの物理学者ジョン・ベルにちなんで名付けられました。入力レジスタ に応じて、このような状態は全部で 4 つあります:

4 つの状態の主な違いは、 と では両方の量子ビットで同じ結果が測定されるのに対し、 と では反対の測定結果が得られる点にあります。正の振幅を持つ 2 つの状態 と は EPR 対 とも呼ばれます。これはアインシュタイン、ポドルスキー、ローゼンによる論文にちなんだ名前です¹。行列表現を使ってベル状態を計算することもできます。例えば です:

この最終状態からは、それが個々の量子ビットのテンソル積として書けないことがわかります。エンタングルメントはまさにこのように定義されます²:

エンタングル状態を作るには、それ自体が個々の量子ビット上のテンソル積として表現できないユニタリ変換が必要です。重ね合わせと並んで、エンタングルメントは量子コンピューティングにおける最も強力なツールの 1 つです。物理的には、これらの状態を作り出すのは難しく、それゆえコストがかかります。長距離にわたって作り出す場合には特にそうです。