Computazione quantistica e informazione quantistica

Sistemi multi-qubit

Per creare circuiti con più qubit, dobbiamo prima descrivere lo stato matematico di più di un qubit. Come per la rappresentazione dei bit classici, dovrebbe essere possibile rappresentare stati classici con qubit. Questa combinazione è chiamata (come nell'informatica classica) registro o registro quantistico. In teoria i registri quantistici possono rappresentare un numero infinito di stati, ma quando vengono misurati in una determinata base ci sono solo possibili risultati di misurazione.

Registro quantistico

La combinazione di due qubit in un registro è il prodotto tensoriale dei vettori di stato, :

Qui, per le ampiezze e vale ancora che:

Per semplificare questa notazione, le ampiezze e vengono combinate in :

Come convenzione di notazione, il prodotto tensoriale dei qubit può essere combinato in :

Se si misura un registro quantistico, si ottiene lo stato con probabilità .

Per la definizione formale dei registri con qubit, è opportuno passare dalla notazione binaria a quella decimale:

Per chiarezza, nel seguito si preferisce la rappresentazione binaria, quindi gli stati di base di un registro a 2 qubit sono:

Si può notare che nella rappresentazione vettoriale c'è sempre esattamente un 1 nella posizione (contando da 0) che corrisponde al numero binario.

Porte multi-qubit semplici

Per trasformare un registro quantistico in un nuovo stato, è possibile applicare porte a più qubit. Nel circuito seguente, lo stato [^1] viene trasformato in mediante l'operazione multi-qubit :

Ad esempio, possiamo combinare le porte U3 a singolo qubit presentate nella sezione precedente come codice QASM:

Prova tu stesso e modifica gli angoli per vedere la differenza nel risultato

OPENQASM 2.0;
include "qelib1.inc";
qreg q[2];
u(pi,pi/2,pi/4) q[0];
u(pi,pi/2,pi/8) q[1];

Il prodotto tensoriale delle due matrici a 1 qubit dà quindi la porta a 2 qubit, ovvero:

Ad esempio, per la porta si ottiene

È anche possibile applicare porte multi-qubit solo a parti di un registro:

Se non viene eseguita alcuna operazione sul qubit , ciò corrisponde alla moltiplicazione per la matrice identità (o ). La matrice identità può anche essere rappresentata come porta:

OPENQASM 2.0;
include "qelib1.inc";
qreg q[1];
id q[0];

Il risultato del prodotto tensoriale è:

Usando l'esempio della porta , ciò funziona come segue:

E la matrice corrispondente si calcola allo stesso modo:

Se questa matrice viene applicata a un vettore di stato (ad es. ), si ottiene il risultato desiderato:

Nel linguaggio QASM, ciò appare come segue:

OPENQASM 2.0;
include "qelib1.inc";
qreg q[3];
x q[1];
x q[2];

Porte multi-qubit controllate

Esistono porte multi-qubit speciali che richiedono più qubit in ingresso e non possono essere rappresentate come prodotto tensoriale di singole porte. Ciò consente allo stato di un qubit di influenzare lo stato di un altro. Un esempio è la porta Controlled-NOT, o in breve porta CNOT:

OPENQASM 2.0;
include "qelib1.inc";
qreg q[2];
cx q[0],q[1];

Il cosiddetto qubit di controllo controlla l'applicazione della porta X al qubit bersaglio .

Se il qubit di controllo si trova in uno stato di base , una porta X viene applicata al qubit bersaglio solo se il qubit di controllo è . Lo stato del qubit di controllo rimane invariato. Per un qubit di controllo in sovrapposizione, vengono influenzate solo le ampiezze degli stati di base in cui il qubit di controllo è . La matrice della porta è:

Se applichiamo questa matrice al vettore di stato , ad esempio, otteniamo il risultato:

Il principio del controllo delle porte non è limitato alla porta X, ma può essere combinato con tutte le altre porte, ad es.:

OPENQASM 2.0;
include "qelib1.inc";
qreg q[2];
cy q[0],q[1];
cz q[0],q[1];
ch q[0],q[1];
cu(pi,pi/2,pi/4,pi/8) q[0],q[1];

In generale, la matrice di una porta controllata su uno stato con come qubit di controllo e come qubit bersaglio ha questa forma:

Analogamente, in notazione bra-ket una porta controllata è definita come:

Il principio delle porte controllate non è limitato a due qubit, ma può essere utilizzato anche con più qubit, ad esempio nella forma della cosiddetta porta CNOT controllata o CCNOT, nota anche come porta di Toffoli, dal nome del suo inventore.

OPENQASM 2.0;
include "qelib1.inc";
qreg q[3];
ccx q[0],q[1],q[2];

La porta NOT viene applicata al qubit bersaglio solo se entrambi i qubit di controllo sono . Come per la CNOT, lo stato dei due qubit di controllo rimane invariato. Per la porta CCNOT otteniamo la matrice

Analogamente, in notazione bra-ket possiamo definire le porte multi-controllate come