Computazione Quantistica e Informazione Quantistica

Porte Quantistiche

Analogamente all'informatica classica, possiamo descrivere le operazioni sui qubit tramite porte logiche. Alcune delle più importanti sono le tre cosiddette porte di Pauli (note anche come porte X, Y e Z) e la porta di Hadamard. Matematicamente, la transizione di stato è descritta da una matrice unitaria, ad esempio:

Ciò vale sia per porte semplici su un singolo qubit sia per sistemi più complessi con più qubit.

L'applicazione di una porta su un qubit è descritta con

Per calcolare il nuovo stato , la matrice corrispondente alla porta viene moltiplicata da sinistra per lo stato iniziale del qubit:

Geometricamente, l'applicazione di una porta su un singolo qubit può essere vista come una rotazione del vettore di stato attorno a un asse della sfera di Bloch.

Porte di Pauli

Porta X

La porta X, o porta NOT, si comporta in modo simile a una porta NOT su un bit classico. Descrive una rotazione di angolo attorno all'asse x della sfera di Bloch. In un circuito è rappresentata come segue:

OPENQASM 2.0;
include "qelib1.inc";
qreg q[1];
x q[0];

La rappresentazione come matrice unitaria è

Quindi, applicata a e si ottiene:

In notazione di Dirac scriviamo:

Possiamo anche derivare questa matrice mettendo in corrispondenza ingressi e uscite in notazione bra-ket () come nella sezione precedente. A tal fine, sommiamo le matrici di tutte le possibili uscite per i vettori di base:

Possiamo anche derivare questa matrice mettendo in corrispondenza ingressi e uscite in notazione bra-ket () come nella sezione precedente. A tal fine, sommiamo le matrici di tutte le possibili uscite per i vettori di base:

Porta Y

Nella sfera di Bloch, la porta Y descrive la rotazione dell'angolo attorno all'asse y.

In un circuito è rappresentata come segue:

OPENQASM 2.0;
include "qelib1.inc";
qreg q[1];
y q[0];

La rappresentazione come matrice unitaria è: e si ottiene:

Applicata a e si ottiene:

In notazione di Dirac scriviamo:

Porta Z

Nella sfera di Bloch, la porta Z descrive la rotazione dell'angolo attorno all'asse z.

In un circuito è rappresentata come segue:

OPENQASM 2.0;
include "qelib1.inc";
qreg q[1];
z q[0];

La rappresentazione come matrice unitaria è:

Applicata a e si ottiene

In notazione di Dirac scriviamo:

Caratteristiche delle Porte di Pauli

Insieme alla matrice identità, le porte di Pauli formano una base dello spazio vettoriale complesso a 4 dimensioni di tutte le matrici complesse . Ciò significa che ogni matrice complessa può essere rappresentata da una combinazione lineare di queste quattro matrici. Inoltre, le tre porte di Pauli sono autoinverse, cioè:

Porta di Hadamard

La porta di Hadamard, che prende il nome dal matematico francese Jacques Hadamard, svolge un ruolo importante nella computazione quantistica perché può portare un qubit da uno stato di base "classico" a uno stato di sovrapposizione. Ad esempio, una sovrapposizione uniforme si ottiene applicando la porta di Hadamard allo stato , perché in tal caso le ampiezze di e sono uguali; una misurazione porterebbe a osservare il qubit nello stato o con probabilità del 50% ciascuno. Nella sfera di Bloch, la porta descrive una rotazione di attorno all'asse z, seguita da una rotazione di attorno all'asse y.

In un circuito è rappresentata come segue: e otteniamo

OPENQASM 2.0;
include "qelib1.inc";
qreg q[1];
h q[0];

La matrice unitaria è data da:

Applicata a e otteniamo

In notazione di Dirac scriviamo:

Porte di Rotazione Arbitrarie

Un qubit può anche essere ruotato di un angolo qualsiasi e attorno a un asse qualsiasi per "raggiungere" tutti gli stati possibili sulla superficie di Bloch. In letteratura esistono diversi insiemi di cosiddette porte universali sufficienti a questo scopo. Utilizziamo le porte di rotazione , e , definite come segue:

o si ottiene con probabilità che dipendono dallo stato del qubit. Questo processo può anche essere rappresentato con una porta:

Ne risultano le seguenti matrici di rotazione:

Nel linguaggio dei circuiti, queste porte appaiono come segue:

OPENQASM 2.0;
include "qelib1.inc";
qreg q[1];
rx(pi/2) q[0];
ry(pi/2) q[0];
rz(pi/2) q[0];

Misurazione

Quando si misura un qubit, il rispettivo risultato (binario) o si ottiene con probabilità che dipendono dallo stato del qubit. Questo processo può anche essere rappresentato con una porta:

OPENQASM 2.0;
include "qelib1.inc";
qreg q[1];
creg c[1];
measure q[0] -> c[0];

Non esiste una rappresentazione matriciale, perché la misurazione non è un'operazione come le altre: legge un bit di informazione classica da un qubit. Inoltre, a differenza delle porte precedenti, le misurazioni non sono reversibili. Nei circuiti disegniamo una doppia linea per distinguere i bit classici dai qubit.

Maggiori dettagli sulle misurazioni sono descritti in Misurazioni dei Qubit