Misurare i Qubit

L'Importanza della Misurazione per i Qubit

Possiamo ottenere informazioni su un qubit in uno stato sconosciuto soltanto misurandolo. Durante una misurazione, il qubit collassa esattamente in uno di due valori. Lo stato originale non può più essere ricostruito e apprendiamo solo una piccola parte di ciò che ci sarebbe da sapere sullo stato. Se è uno stato sconosciuto e il risultato della misurazione è , l'unica cosa che si può affermare con certezza su è che doveva valere. Ulteriori informazioni su non possono più essere ottenute, perché il qubit ha perso irreversibilmente la sua sovrapposizione in seguito alla misurazione.

Misurazione di Singoli Bit in un Registro

Abbiamo già visto che possiamo misurare anche singoli bit in un registro, poiché ciò ha effetto anche sul risultato della misurazione degli altri qubit.
Come cambia lo stato di un registro misurando un singolo qubit? Sappiamo che un registro composto da due qubit e si trova nello stato

per qualsiasi e . La probabilità di misurare è

Se ora misuriamo , il registro si trova nello stato

Vale quanto segue:

Questo significa: le ampiezze di e vengono mantenute in proporzione, ma vengono normalizzate in modo che le probabilità di misurazione tornino a sommarsi a 1.

Misurazioni in Basi diverse dalla Base Computazionale

Finora solo e sono stati presentati come possibili risultati di misurazione. Tuttavia, questo approccio ignora il fatto che i qubit vengono sempre misurati rispetto a una certa base. Finora si trattava della cosiddetta base computazionale .

Dalla scuola si può ricordare che uno spazio vettoriale bidimensionale può avere basi diverse. Quindi non solo è una base di , ma anche, ad esempio, l'insieme . Sia sia possono essere rappresentati come combinazione lineare di questi vettori. Si possono trovare come segue (esempio: ):

Cerchiamo quindi .

Ne risultano due equazioni:

I) II)

Invece di rappresentare un qubit nella base computazionale (cioè l'asse z della sfera di Bloch) come possiamo anche scegliere (l'asse x) oppure (l'asse y) come base dello spazio vettoriale bidimensionale:

Le basi sono, in ciascun caso, autovettori normalizzati delle corrispondenti matrici di Pauli con autovalori e . Questo vale anche per la base Z standard e per la matrice Z di Pauli. L'autovettore per l'autovalore è e per è :

Nelle altre basi, lo stato ha quindi la rappresentazione Con

possiamo calcolare e . Il risultato è:

Lo stato viene misurato con probabilità e lo stato con , analogamente lo stato con probabilità e lo stato con . Anche in questo caso vale:

Matematicamente, una misurazione rispetto a una base corrisponde a una proiezione del vettore nei sottospazi della base. Nella figura, i sottospazi sono gli assi del sistema di coordinate. Il risultato di misurazione significa quindi che il vettore è stato proiettato nel sottospazio . La probabilità di questo evento corrisponde alla lunghezza del vettore proiettato.
Per garantire che i risultati di misurazione si escludano a vicenda, per i sistemi quantistici sono necessarie basi in cui due vettori di base e siano ortogonali tra loro, cioè: . Altrimenti, la misurazione di un vettore di base potrebbe dare come risultato l'altro vettore di base con probabilità , il che non avrebbe senso. Come base sono possibili solo vettori di qubit validi e, poiché la loro lunghezza è sempre , ogni base per un sistema quantistico è una base ortonormale.

Il Risultato della Misurazione

Di conseguenza, un qubit può trovarsi in sovrapposizione non solo rispetto a e , ma anche rispetto a un'altra base. Durante la misurazione, la sovrapposizione rispetto alla base di misurazione viene distrutta e viene assunto uno degli stati di base corrispondenti. Questo significa quindi:

1. Quando si misura un qubit, si ottiene un bit di informazione classica.

2. Il qubit assume uno stato successivo, che può essere una sovrapposizione rispetto a un'altra base.

3. Se lo stato originale è noto, la misurazione indica in quale stato successivo si trova il qubit. Questo può essere utilizzato per ulteriori calcoli.

Osservabili

Un quadro più generale della misurazione è descritto dalla misurazione proiettiva rispetto a un'osservabile. Le osservabili sono operatori hermitiani che descrivono le proprietà fisiche quantistiche di un sistema. In una misurazione proiettiva, l'osservabile è definita come dove è una proiezione sull'autospazio dell'osservabile . La misurazione fornisce un autovalore dell'osservabile e porta il sistema nel corrispondente autovettore . La probabilità di misurare l'autovalore per uno stato è Osservabili tipiche sono le matrici di Pauli con possibili autovettori (, , ) e autovalori corrispondenti .
Ad esempio, la matrice può essere composta da proiezioni come segue:

Se vogliamo calcolare la probabilità di misurare per lo stato , il risultato è

Possiamo anche usare l'osservabile per calcolare il valore atteso della misurazione di uno stato :

Importante: il valore atteso si calcola a partire dagli autovalori dell'osservabile, non dalle probabilità di misurazione.
Come esempio, calcoliamo il valore atteso della misurazione nella base Z per lo stato :

In linea di principio, possiamo considerare come osservabile qualsiasi matrice hermitiana. Ad esempio, possiamo combinare basi e misurare nella base ZX della sfera di Bloch, oppure usare matrici non unitarie per valutare stati rispetto a una funzione di costo (rilevante per gli algoritmi ibridi più avanti nella lezione).
Se misuriamo lo stato , ad esempio, rispetto a , otteniamo il valore atteso: