Kvantno računanje in kvantna informacija

Večkubitni sistemi

Da bi lahko ustvarili vezja z več kubiti, moramo najprej opisati matematično stanje več kot enega kubita. Tako kot pri predstavitvi klasičnih bitov mora biti mogoče predstaviti klasičnih stanj z kubiti. Ta kombinacija se (tako kot v klasičnem računalništvu) imenuje register ali kvantni register. Teoretično lahko kvantni registri predstavljajo neskončno število stanj, toda pri meritvi v določeni bazi obstaja le možnih izidov meritve.

Kvantni register

Združitev dveh kubitov v register je tenzorski produkt vektorjev stanj, :

Tu za amplitudi in še vedno velja:

Za poenostavitev zapisa amplitudi in združimo v :

Po dogovoru o zapisu lahko tenzorski produkt kubitov združimo v :

Če kvantni register izmerimo, dobimo stanje z verjetnostjo .

Za formalno definicijo registrov z kubiti je smiselno preiti z dvojiškega na desetiški zapis:

Zaradi jasnosti bomo v nadaljevanju uporabljali dvojiško predstavitev, zato so bazna stanja 2-kubitnega registra:

Vidimo, da je v vektorski predstavitvi vedno natanko ena 1 na mestu (šteto od 0), ki ustreza dvojiškemu številu.

Preprosta večkubitna vrata

Za pretvorbo kvantnega registra v novo stanje lahko vrata uporabimo na več kubitih. V naslednjem vezju se stanje [^1] pretvori v z večkubitno operacijo :

Na primer, enokubitna vrata U3, predstavljena v prejšnjem razdelku, lahko združimo v kodo QASM:

Preizkusite sami in spremenite kote, da vidite razliko v rezultatu

OPENQASM 2.0;
include "qelib1.inc";
qreg q[2];
u(pi,pi/2,pi/4) q[0];
u(pi,pi/2,pi/8) q[1];

Tenzorski produkt obeh 1-kubitnih matrik nato da 2-kubitna vrata, tj.:

Na primer, za vrata dobimo

Večkubitna vrata je mogoče uporabiti tudi le na delu registra:

Če na kubitu ne izvedemo nobene operacije, to ustreza množenju z enotsko matriko (ali ). Enotsko matriko lahko predstavimo tudi kot vrata:

OPENQASM 2.0;
include "qelib1.inc";
qreg q[1];
id q[0];

Rezultat tenzorskega produkta je:

Na primeru vrat to poteka takole:

In ustrezna matrika se izračuna na enak način:

Če to matriko uporabimo na vektorju stanja (npr. ), dobimo želeni rezultat:

V jeziku QASM je to videti takole:

OPENQASM 2.0;
include "qelib1.inc";
qreg q[3];
x q[1];
x q[2];

Kontrolirana večkubitna vrata

Obstajajo posebna večkubitna vrata, ki kot vhod zahtevajo več kubitov in jih ni mogoče predstaviti kot tenzorski produkt posameznih vrat. To omogoča, da stanje enega kubita vpliva na stanje drugega. Primer takih vrat so vrata kontrolirani NOT (Controlled-NOT), krajše vrata CNOT:

OPENQASM 2.0;
include "qelib1.inc";
qreg q[2];
cx q[0],q[1];

Tako imenovani kontrolni kubit nadzoruje uporabo vrat X na ciljnem kubitu .

Če je kontrolni kubit v baznem stanju , se vrata X na ciljnem kubitu uporabijo le, če je kontrolni kubit . Stanje kontrolnega kubita ostane nespremenjeno. Pri kontrolnem kubitu v superpoziciji so prizadete le amplitude baznih stanj, v katerih je kontrolni kubit . Matrika teh vrat je:

Če to matriko uporabimo na primer na vektorju stanja , dobimo rezultat:

Načelo kontroliranja vrat ni omejeno na vrata X, združiti ga je mogoče z vsemi drugimi vrati, npr.:

OPENQASM 2.0;
include "qelib1.inc";
qreg q[2];
cy q[0],q[1];
cz q[0],q[1];
ch q[0],q[1];
cu(pi,pi/2,pi/4,pi/8) q[0],q[1];

Na splošno je matrika kontroliranih vrat na stanju s kot kontrolnim kubitom in kot ciljnim kubitom videti takole:

Podobno so v braket zapisu kontrolirana vrata definirana kot:

Načelo kontroliranih vrat ni omejeno na dva kubita, temveč ga je mogoče uporabiti tudi z več kubiti, npr. v obliki tako imenovanih vrat kontrolirani CNOT oziroma CCNOT, ki so znana tudi kot Toffolijeva vrata, poimenovana po svojem izumitelju.

OPENQASM 2.0;
include "qelib1.inc";
qreg q[3];
ccx q[0],q[1],q[2];

Vrata NOT se na ciljnem kubitu uporabijo le, če sta oba kontrolna kubita . Tako kot pri CNOT ostane stanje obeh kontrolnih kubitov nespremenjeno. Za vrata CCNOT dobimo matriko

Podobno lahko v braket zapisu večkratno kontrolirana vrata definiramo kot