Merjenje kubitov

Pomen meritve za kubite

Informacijo o kubitu v neznanem stanju lahko pridobimo le tako, da ga izmerimo. Med meritvijo kubit kolapsira v natanko eno od dveh vrednosti. Prvotnega stanja ni več mogoče rekonstruirati in izvemo le majhen del tega, kar bi bilo o stanju mogoče vedeti. Če je neznano stanje in je rezultat meritve , je edino, kar lahko z gotovostjo povemo o , to, da je moralo veljati . Nadaljnjih informacij o ni več mogoče pridobiti, saj je kubit z meritvijo nepovratno izgubil svojo superpozicijo.

Merjenje posameznih bitov v registru

Videli smo že, da lahko merimo tudi posamezne bite v registru, saj to vpliva tudi na rezultat meritve preostalih kubitov.
Kako se stanje registra spremeni z meritvijo posameznega kubita? Vemo, da je register, sestavljen iz dveh kubitov in , v stanju

za poljubne in . Verjetnost, da izmerimo , je

Če zdaj izmerimo , je register v stanju

Velja naslednje:

To pomeni: amplitudi in se sorazmerno ohranita, vendar se normirata tako, da se verjetnosti meritev spet seštejejo v 1.

Meritve v bazah, ki niso računska baza

Doslej sta bila kot možna rezultata meritve predstavljena le in . Ta pristop pa prezre dejstvo, da kubite vedno merimo glede na določeno bazo. Doslej je bila to tako imenovana računska baza .

Iz šole se morda spomnimo, da ima lahko dvorazsežni vektorski prostor različne baze. Tako ni le baza prostora , ampak na primer tudi množica . Tako kot lahko predstavimo kot linearno kombinacijo teh vektorjev. Najdemo ju lahko takole (primer: ):

Iščemo torej .

Iz tega sledita dve enačbi:

I) II)

Namesto da kubit v računski bazi (tj. na osi z Blochove sfere) predstavimo kot lahko za bazo dvorazsežnega vektorskega prostora izberemo tudi (os x) ali (os y):

Baze so vsakokrat normirani lastni vektorji ustreznih Paulijevih matrik z lastnima vrednostma in . To velja tudi za standardno bazo Z in Paulijevo matriko Z. Lastni vektor za lastno vrednost je , za pa je to :

V drugih bazah ima stanje potem predstavitev S pomočjo

lahko izračunamo in . Rezultat je:

Stanje izmerimo z verjetnostjo , stanje pa z , podobno stanje z verjetnostjo , stanje pa z . Spet velja:

Matematično meritev glede na bazo ustreza projekciji vektorja v podprostore baze; na sliki so podprostori osi koordinatnega sistema. Rezultat meritve potem pomeni, da je bil vektor projiciran v podprostor . Verjetnost za to ustreza dolžini projiciranega vektorja.
Da bi bili rezultati meritev med seboj izključujoči, so za kvantne sisteme potrebne baze, v katerih sta dva bazna vektorja in med seboj ortogonalna, tj.: . Sicer bi meritev enega baznega vektorja lahko dala drugi bazni vektor z verjetnostjo , kar ne bi imelo smisla. Za bazo so mogoči le veljavni kubitni vektorji, in ker je njihova dolžina vedno , je vsaka baza kvantnega sistema ortonormirana baza.

Rezultat meritve

Posledično je kubit lahko v superpoziciji ne le glede na in , temveč tudi glede na drugo bazo. Pri meritvi se superpozicija glede na merilno bazo uniči in kubit zavzame eno od ustreznih baznih stanj. To torej pomeni:

1. Z meritvijo kubita pridobimo en bit klasične informacije.

2. Kubit zavzame naslednje stanje, ki je lahko superpozicija glede na drugo bazo.

3. Če je prvotno stanje znano, meritev pove, v katerem naslednjem stanju je kubit. To lahko uporabimo za nadaljnje izračune.

Observable

Splošnejšo sliko meritve opisuje projektivna meritev glede na observablo. Observable so hermitski operatorji, ki opisujejo kvantnofizikalne lastnosti sistema. Pri projektivni meritvi je observabla definirana kot kjer je projekcija na lastni podprostor observable . Meritev da lastno vrednost observable in sistem preslika v pripadajoči lastni vektor . Verjetnost, da izmerimo lastno vrednost za stanje , je Tipične observable so Paulijeve matrike z možnimi lastnimi vektorji (, , ) in pripadajočimi lastnimi vrednostmi .
Na primer, matriko lahko iz projekcij sestavimo takole:

Če želimo izračunati verjetnost, da izmerimo za stanje , dobimo

Z observablo lahko izračunamo tudi pričakovano vrednost meritve stanja :

Pomembno: Pričakovana vrednost se izračuna iz lastnih vrednosti observable, ne iz verjetnosti meritev.
Za primer izračunajmo pričakovano vrednost meritve v bazi Z za stanje :

Načeloma lahko kot observablo obravnavamo katero koli hermitsko matriko. Na primer, lahko kombiniramo baze in merimo v bazi ZX Blochove sfere ali uporabimo neunitarne matrike za vrednotenje stanj glede na cenilno funkcijo (pomembno za hibridne algoritme kasneje v predavanju).
Če stanje izmerimo npr. glede na , dobimo pričakovano vrednost: